Вычислите значение производной функции y = cos3x в точке x0 = -П/6

Для вычисления значения производной функции ( y = \cos(3x) ) в точке ( x_0 = -\pi/6 ), следуем следующим шагам:

1. Найдем общую формулу для производной функции ( y = \cos(3x) ):

   Используем правило дифференцирования составной функции и производной косинуса. В общем виде производная функции ( \cos(u) ), где ( u ) — функция от ( x ), равна ( -\sin(u) \cdot u' ).

   Для нашей функции ( y = \cos(3x) ), ( u = 3x ). Тогда производная ( u ) по ( x ) равна 3.

   Применим правило цепочки: [ \frac{dy}{dx} = \frac{d(\cos(3x))}{dx} = -\sin(3x) \cdot \frac{d(3x)}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x). ]

2. Подставим значение ( x_0 = -\pi/6 ) в производную:

   Нам нужно вычислить значение производной в конкретной точке ( x0 = -\pi/6 ). [ \left. \frac{dy}{dx} \right|{x = -\pi/6} = -3\sin(3(-\pi/6)). ]

3. Вычислим аргумент синуса:

   Упростим аргумент тригонометрической функции: [ 3\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}. ]

4. Найдем значение синуса для вычисленного аргумента:

   [ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1. ]

5. Подставим значение синуса в производную:

   [ -3 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot (-1) = 3. ]

Таким образом, значение производной функции ( y = \cos(3x) ) в точке ( x_0 = -\pi/6 ) равно 3.

Для вычисления производной функции y = cos3x в точке x0 = -π/6 нам необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Итак, данная функция представляет собой композицию функций cos и 3x. Сначала возьмем производную функции cos(u), где u = 3x, получим: d(cos(u))/du = -sin(u). Затем умножим на производную внутренней функции: d(3x)/dx = 3.

Теперь умножим эти два значения: (-sin(3x)) * 3 = -3sin(3x).

Таким образом, производная функции y = cos3x равна -3sin(3x). Для нахождения значения в точке x0 = -π/6, подставим эту точку в выражение: -3sin(3(-π/6)) = -3sin(-π/2) = -3*(-1) = 3.

Итак, значение производной функции y = cos3x в точке x0 = -π/6 равно 3.