Вычислите значение производной функции y=ctg3x в точке Хо=П/2

Для начала найдем производную функции y = ctg(3x). Для этого воспользуемся формулой производной для функции котангенса: (ctg(x))' = -csc^2(x).

Таким образом, производная функции y = ctg(3x) будет равна y' = -3csc^2(3x).

Теперь подставим значение точки Xo = π/2 в полученную производную:

y'(π/2) = -3csc^2(3 * π/2) = -3csc^2(3π/2).

Так как csc(3π/2) = 1/sin(3π/2) = 1/-1 = -1, то

y'(π/2) = -3 * (-1)^2 = -3.

Таким образом, значение производной функции y = ctg(3x) в точке Xo = π/2 равно -3.

Для нахождения производной функции ( y = \cot(3x) ) и её значения в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ), начнем с нахождения самой производной.

Функция ( y = \cot(3x) ) представляет собой композицию функций ( u(x) = 3x ) и ( \cot(u) ). Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепное правило):

[ y' = (\cot u)' \cdot u' ]

Известно, что ( (\cot u)' = -\csc^2 u ) (квадрат косеканса с противоположным знаком), где ( \csc u = 1/\sin u ). Также, производная функции ( u(x) = 3x ) равна ( u' = 3 ). Подставляем эти значения в формулу производной:

[ y' = -\csc^2(3x) \cdot 3 ] [ y' = -3 \csc^2(3x) ]

Теперь найдем значение этой производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ):

[ y'(\frac{\pi}{2}) = -3 \csc^2(3 \cdot \frac{\pi}{2}) ] [ y'(\frac{\pi}{2}) = -3 \csc^2(\frac{3\pi}{2}) ]

Значение ( \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 ), следовательно, ( \csc(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = 1 ). Таким образом:

[ \csc^2(\frac{3\pi}{2}) = 1^2 = 1 ]

Подставляем это значение в выражение для производной:

[ y'(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 1 = -3 ]

Итак, значение производной функции ( y = \cot(3x) ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ) равно -3.