Вычислите значение производной y=tg4x в точке х0=-Пи/4

Для нахождения производной функции ( y = \tan(4x) ) в точке ( x_0 = -\frac{\pi}{4} ), сначала найдем производную функции ( y ) по ( x ), а затем подставим значение ( x_0 ).

1. Нахождение производной функции ( y = \tan(4x) ):

Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть ( u = 4x ), тогда ( y = \tan(u) ). Производная тангенса ( \tan(u) ) равна ( \sec^2(u) ). Производная ( u = 4x ) по ( x ) равна ( 4 ). Таким образом, по правилу дифференцирования сложной функции ( y' = \sec^2(u) \cdot u' = \sec^2(4x) \cdot 4 ).

1. Подстановка ( x_0 = -\frac{\pi}{4} ):

Подставим ( x = -\frac{\pi}{4} ) в полученное выражение для производной: [ y'(-\frac{\pi}{4}) = 4 \sec^2(4 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 4 \sec^2(-\pi) ]

Секанс ( \sec(\theta) ) определяется как ( \frac{1}{\cos(\theta)} ). Значение ( \cos(-\pi) ) равно ( \cos(\pi) ), что равно (-1). Таким образом, ( \sec(-\pi) = \frac{1}{\cos(-\pi)} = \frac{1}{-1} = -1 ). Однако, поскольку в формуле стоит квадрат секанса, получаем: [ \sec^2(-\pi) = (-1)^2 = 1 ]

Тогда: [ y'(-\frac{\pi}{4}) = 4 \cdot 1 = 4 ]

Итак, значение производной функции ( y = \tan(4x) ) в точке ( x_0 = -\frac{\pi}{4} ) равно 4.

Для вычисления значения производной функции y=tg(4x) в точке х0=-π/4 необходимо воспользоваться формулой производной тангенса:

(dy/dx) = sec^2(4x) * 4

Затем подставить значение х0=-π/4:

(dy/dx)|x=-π/4 = sec^2(-π) * 4

Так как sec^2(-π) = 1, получим:

(dy/dx)|x=-π/4 = 4

Таким образом, значение производной функции y=tg(4x) в точке x0=-π/4 равно 4.