Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена : х^2+2х+6 сократить дробь: 4х+8/3х^2+5х+2

Давайте разберемся с каждым из этих заданий по отдельности.

1. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена (x^2 + 2x + 6)

Чтобы выделить полный квадрат, нам нужно попытаться представить начальный трехчлен в виде ((x + a)^2 + b), где (a) и (b) — некоторые числа.

1. Выделяем квадрат двучлена:

   Рассмотрим первые два члена (x^2 + 2x). Чтобы это выражение стало полным квадратом, добавим и вычтем (1) (квадрат половины коэффициента при (x)):

   [ x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1 ]

2. Подставляем в исходное выражение:

   Теперь заменим (x^2 + 2x) в исходном трехчлене:

   [ x^2 + 2x + 6 = (x + 1)^2 - 1 + 6 = (x + 1)^2 + 5 ]

Таким образом, трехчлен (x^2 + 2x + 6) можно представить в виде ((x + 1)^2 + 5).

2. Сокращение дроби (\frac{4x + 8}{3x^2 + 5x + 2})

Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложение числителя (4x + 8):

   В числителе можно вынести общий множитель:

   [ 4x + 8 = 4(x + 2) ]

2. Разложение знаменателя (3x^2 + 5x + 2):

   Попробуем разложить квадратный трехчлен на множители. Ищем два числа, произведение которых равно (3 \times 2 = 6), а сумма равна (5). Эти числа (2) и (3).

   Разложим трехчлен:

   [ 3x^2 + 5x + 2 = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x(x + 1) + 2(x + 1) = (3x + 2)(x + 1) ]

3. Сокращение дроби:

   Теперь подставим разложения в дробь:

   [ \frac{4x + 8}{3x^2 + 5x + 2} = \frac{4(x + 2)}{(3x + 2)(x + 1)} ]

   В данном случае числитель и знаменатель не имеют общих множителей, которые можно было бы сократить. Таким образом, дробь остается в этом виде.

Таким образом, выполнены оба задания: выделение квадрата двучлена и упрощение дроби.

Для выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена нужно воспользоваться формулой полного квадрата. В данном случае у нас есть квадратный трехчлен х^2 + 2х + 6. Для того чтобы выделить квадрат двучлена, нужно половину коэффициента при х возвести в квадрат и добавить это выражение в скобки, получив (x + 1)^2 + 5.

Теперь рассмотрим дробь 4х + 8 / 3х^2 + 5х + 2. Чтобы ее сократить, нужно разложить знаменатель на множители и упростить выражение. Знаменатель 3х^2 + 5х + 2 можно разложить на (3х + 2)(х + 1). Теперь выражение примет вид (4х + 8) / (3х + 2)(х + 1).

Таким образом, после выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена и сокращения дроби, получаем (x + 1)^2 + 5 / (3x + 2)(x + 1).