Выполните действие: 2х/х-а- 2а/х+а

Чтобы выполнить действие ( \frac{2x}{x - a} - \frac{2a}{x + a} ), начнем с поиска общего знаменателя. Общий знаменатель для дробей ( x - a ) и ( x + a ) будет равен ( (x - a)(x + a) ).

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

1. Первая дробь:

[ \frac{2x}{x - a} = \frac{2x(x + a)}{(x - a)(x + a)} ]

1. Вторая дробь:

[ \frac{2a}{x + a} = \frac{2a(x - a)}{(x - a)(x + a)} ]

Теперь можно записать разность этих дробей:

[ \frac{2x(x + a)}{(x - a)(x + a)} - \frac{2a(x - a)}{(x - a)(x + a)} ]

Объединяем дроби:

[ \frac{2x(x + a) - 2a(x - a)}{(x - a)(x + a)} ]

Теперь упростим числитель:

[ 2x(x + a) - 2a(x - a) = 2x^2 + 2ax - 2ax + 2a^2 = 2x^2 + 2a^2 ]

Таким образом, у нас получится:

[ \frac{2(x^2 + a^2)}{(x - a)(x + a)} ]

Итак, окончательный ответ будет:

[ \frac{2(x^2 + a^2)}{(x - a)(x + a)} ]

Это выражение является упрощенной формой результата операции.

Рассмотрим выражение:
[ \frac{2x}{x-a} - \frac{2a}{x+a}. ]

Чтобы выполнить действие, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить вычитание числителей.

Шаг 1. Определим общий знаменатель

Знаменатели двух дробей — это ( x-a ) и ( x+a ). Их общий знаменатель будет произведением этих выражений: [ (x-a)(x+a). ] Поэтому общий знаменатель дробей будет ( x^2 - a^2 ) (разность квадратов).

Шаг 2. Приведение дробей к общему знаменателю

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем ( (x-a)(x+a) ):

1. Первую дробь ( \frac{2x}{x-a} ) домножим на ( x+a ) в числителе и знаменателе: [ \frac{2x}{x-a} = \frac{2x(x+a)}{(x-a)(x+a)}. ]
2. Вторую дробь ( \frac{2a}{x+a} ) домножим на ( x-a ) в числителе и знаменателе: [ \frac{2a}{x+a} = \frac{2a(x-a)}{(x-a)(x+a)}. ]

Итак, выражение становится: [ \frac{2x(x+a)}{(x-a)(x+a)} - \frac{2a(x-a)}{(x-a)(x+a)}. ]

Шаг 3. Выполним вычитание числителей

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, мы можем вычесть числители: [ \frac{2x(x+a)}{(x-a)(x+a)} - \frac{2a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{2x(x+a) - 2a(x-a)}{(x-a)(x+a)}. ]

Раскроем скобки в числителе: [ 2x(x+a) = 2x^2 + 2xa, ] [ 2a(x-a) = 2ax - 2a^2. ]

Подставим это в числитель: [ 2x^2 + 2xa - (2ax - 2a^2). ]

Раскроем скобки и упростим: [ 2x^2 + 2xa - 2ax + 2a^2. ]

Объединим подобные слагаемые: [ 2x^2 + 2a^2 \quad (\text{поскольку } 2xa - 2ax = 0). ]

Таким образом, числитель равен: [ 2x^2 + 2a^2. ]

Шаг 4. Запишем итоговый результат

Теперь всё выражение выглядит так: [ \frac{2x^2 + 2a^2}{(x-a)(x+a)}. ]

Можно вынести ( 2 ) за скобки в числителе: [ \frac{2(x^2 + a^2)}{(x-a)(x+a)}. ]

Ответ:

[ \frac{2(x^2 + a^2)}{(x-a)(x+a)}. ]