(X²-2x-5)²-2(x²-2x-5)=3 решите уровнение,используя введения новой переменой решите тока подробно пожалуйста

Для решения данного уравнения сначала введем новую переменную. Обозначим x²-2x-5 за y. Тогда уравнение примет вид: y² - 2y = 3

Теперь решим это квадратное уравнение: y² - 2y - 3 = 0 (y - 3)(y + 1) = 0 y₁ = 3, y₂ = -1

Так как y = x²-2x-5, подставим найденные значения y обратно: 1) x²-2x-5 = 3 x² - 2x - 8 = 0 (x - 4)(x + 2) = 0 x₁ = 4, x₂ = -2

2) x²-2x-5 = -1 x² - 2x - 4 = 0 (x - 2)² = 0 x = 2

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 4, x₂ = -2.

Для решения уравнения ((X²-2x-5)²-2(X²-2x-5)=3) введем новую переменную (y), где (y = X²-2x-5).

Наше уравнение тогда становится: [ y² - 2y = 3 ]

Перепишем это уравнение, чтобы было легче его решить: [ y² - 2y - 3 = 0 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью стандартной формулы для квадратных уравнений, (ax² + bx + c = 0): [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -2 ), и ( c = -3 ). Подставим эти значения в формулу: [ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ] [ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ y = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Теперь решим для двух возможных значений (y):

1. ( y = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 )
2. ( y = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 )

Теперь вернемся к исходной переменной (X) и решим два уравнения:

1. ( X² - 2x - 5 = 3 )
2. ( X² - 2x - 5 = -1 )

Рассмотрим первое уравнение: [ X² - 2x - 5 = 3 ] [ X² - 2x - 8 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ X = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} ] [ X = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} ] [ X = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ X = \frac{2 \pm 6}{2} ]

Теперь решим для двух возможных значений (X):

1. ( X = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
2. ( X = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )

Рассмотрим второе уравнение: [ X² - 2x - 5 = -1 ] [ X² - 2x - 4 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ X = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ] [ X = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} ] [ X = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} ] [ X = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} ] [ X = 1 \pm \sqrt{5} ]

Таким образом, у уравнения ((X²-2x-5)²-2(X²-2x-5)=3) есть четыре решения: [ X = 4, ] [ X = -2, ] [ X = 1 + \sqrt{5}, ] [ X = 1 - \sqrt{5}. ]

Для решения уравнения (X²-2x-5)²-2(x²-2x-5)=3 сначала введем новую переменную: пусть Y = X²-2x-5. Тогда уравнение примет вид Y²-2Y=3.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно Y. Для этого перенесем все члены на одну сторону и получим Y²-2Y-3=0.

Далее используем формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения: D = b²-4ac, где a = 1, b = -2, c = -3. Получаем D = (-2)²-41(-3) = 4+12 = 16.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня: Y₁ = (2+√16)/2 = 2+4/2 = 3 и Y₂ = (2-√16)/2 = 2-4/2 = -1.

Теперь найдем корни исходного уравнения с использованием найденных значений Y: X²-2x-5 = 3 и X²-2x-5 = -1. Решив эти уравнения, получим два набора корней: X₁ = 3, X₂ = -1 и X₃ = 1, X₄ = -3.

Итак, корни исходного уравнения (X²-2x-5)²-2(x²-2x-5)=3 равны X₁ = 3, X₂ = -1, X₃ = 1, X₄ = -3.