X-3/x-5+1/x=x+5/x(x-5) решите плиз

Чтобы решить уравнение

[ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x(x - 5)}, ]

следуем следующим шагам:

1. Найдем общий знаменатель: Общий знаменатель для всех дробей в уравнении будет (x(x - 5)).

2. Приведем дроби к общему знаменателю:

   • Для первой дроби (\frac{x - 3}{x - 5}), умножим числитель и знаменатель на (x): [ \frac{x(x - 3)}{x(x - 5)} = \frac{x^2 - 3x}{x(x - 5)} ]
   • Для второй дроби (\frac{1}{x}), умножим числитель и знаменатель на (x - 5): [ \frac{x - 5}{x(x - 5)} ]
   • Третья дробь уже имеет необходимый знаменатель: [ \frac{x + 5}{x(x - 5)} ]

3. Объединим уравнения с общим знаменателем: [ \frac{x^2 - 3x + (x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{x + 5}{x(x - 5)} ]

4. Объединяем числители: [ x^2 - 3x + x - 5 = x + 5 ] Упростим левую часть: [ x^2 - 2x - 5 = x + 5 ]

5. Переносим все на одну сторону уравнения: [ x^2 - 2x - 5 - x - 5 = 0 ] Упростим: [ x^2 - 3x - 10 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = -3), (c = -10).

   Формула корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   Подставим значения: [ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} ] [ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ x = \frac{3 \pm 7}{2} ]

   Получаем два решения: [ x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 ]

7. Проверка решений: Подставим (x_1 = 5) в исходное уравнение: [ \frac{5 - 3}{5 - 5} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 5}{5(5 - 5)} ] Оба выражения содержат деление на ноль, значит (x = 5) не является решением.

   Подставим (x_2 = -2) в исходное уравнение: [ \frac{-2 - 3}{-2 - 5} + \frac{1}{-2} = \frac{-2 + 5}{-2(-2 - 5)} ] [ \frac{-5}{-7} - \frac{1}{2} = \frac{3}{-2 \cdot (-7)} ] [ \frac{5}{7} - \frac{1}{2} = \frac{3}{14} ]

   Приведем к общему знаменателю: [ \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} ]

   Уравнение верно. Таким образом, единственное решение уравнения (x = -2).

Для решения данного уравнения нужно привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.

Для решения данного уравнения сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Умножим первую дробь на (x - 5) / (x - 5), вторую дробь на x / x и третью дробь на (x - 5) / (x - 5):

(X - 3)(x) / (x - 5)(x) + (x) / (x) = (x + 5) / (x)(x - 5)

После упрощения получаем:

(x^2 - 3x) / (x^2 - 5x) + 1 = x + 5 / x(x - 5)

Теперь можем объединить два слагаемых слева в одну дробь:

(x^2 - 3x + x^2 - 5x) / (x^2 - 5x) = x + 5 / x(x - 5)

(2x^2 - 8x) / (x^2 - 5x) = x + 5 / x(x - 5)

Упростим дробь в левой части и умножим обе части уравнения на x(x - 5):

2x^2 - 8x = (x)(x + 5)

2x^2 - 8x = x^2 + 5x

Переносим все в одну сторону:

2x^2 - 8x - x^2 - 5x = 0

x^2 - 13x = 0

Факторизуем:

x(x - 13) = 0

Отсюда получаем два возможных решения:

x = 0 или x = 13

Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 13.