X^2-16>0 решите неравенство с графиком

Для решения неравенства (x^2 - 16 > 0) начнем с преобразования неравенства к более удобному виду:

[ x^2 - 16 > 0 ]

Это неравенство можно переписать как разность квадратов:

[ (x - 4)(x + 4) > 0]

Чтобы найти решение этого неравенства, начнем с определения корней уравнения ((x - 4)(x + 4) = 0). Корни уравнения — это (x = 4) и (x = -4). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: (x < -4), (-4 < x < 4), и (x > 4). Нам нужно проверить, в каких из этих интервалов произведение ((x - 4)(x + 4)) будет положительным.

1. При (x < -4) (например, (x = -5)): [ (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0 ] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.

2. При (-4 < x < 4) (например, (x = 0)): [ (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0 ] Значит, в этом интервале неравенство не выполняется.

3. При (x > 4) (например, (x = 5)): [ (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0 ] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства ((x - 4)(x + 4) > 0) являются интервалы (x < -4) и (x > 4). В интервальной нотации это записывается как (x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)).

Построение графика:

Для визуализации решения нарисуем график функции (y = (x - 4)(x + 4)), который представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как старший коэффициент положителен), и пересекает ось (x) в точках (-4) и (4).

Графически решением неравенства будет те части графика, которые находятся выше оси (x), то есть в интервалах (x < -4) и (x > 4).

На графике видно, что парабола находится в положительной области при (x < -4) и (x > 4), что соответствует нашему аналитическому решению.

Для решения неравенства X^2-16>0, сначала найдем корни уравнения X^2-16=0. Решая это уравнение, получаем X=4 и X=-4. Эти точки делят ось X на три интервала: (-бесконечность, -4), (-4, 4) и (4, +бесконечность).

Теперь выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы проверить знак выражения X^2-16 на каждом интервале. Например, если подставить X=-5, получим (-5)^2-16=25-16=9, что больше нуля. Это означает, что на интервале (-бесконечность, -4) неравенство выполняется.

Теперь построим график функции Y=X^2-16. График будет представлять собой параболу, которая пересекает ось X в точках X=4 и X=-4. После этого мы видим, что график функции находится выше оси X в интервалах (-бесконечность, -4) и (4, +бесконечность), что означает, что неравенство X^2-16>0 выполняется на этих интервалах.

Таким образом, решением неравенства X^2-16>0 является интервал (-бесконечность, -4) объединенный с интервалом (4, +бесконечность).

Решение неравенства X^2-16>0: X<-4 или X>4. График: две вертикальные линии в точках X=-4 и X=4, отрезки на оси X между ними и вне их.