X^2-y^2=3, x^4-y^4=15 решить систему
X^2-y^2=3, x^4-y^4=15 решить систему
Для решения системы уравнений:
мы можем воспользоваться алгебраическими преобразованиями.
Начнем с первого уравнения:
[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 3. ]
Это уравнение говорит нам, что произведение ( (x-y) ) и ( (x+y) ) равно 3.
Заметим, что:
[ x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2). ]
Так как ( x^2 - y^2 = 3 ), то:
[ x^4 - y^4 = 3(x^2 + y^2). ]
У нас есть второе уравнение:
[ x^4 - y^4 = 15. ]
Подставляя, получаем:
[ 3(x^2 + y^2) = 15. ]
Отсюда следует:
[ x^2 + y^2 = 5. ]
Теперь у нас есть система:
Сложим и вычтем эти уравнения:
[ (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 3 + 5 = 8 ]
Получаем:
[ 2x^2 = 8 ]
Откуда:
[ x^2 = 4 ]
Таким образом, ( x = 2 ) или ( x = -2 ).
[ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 5 - 3 = 2 ]
Получаем:
[ 2y^2 = 2 ]
Откуда:
[ y^2 = 1 ]
Таким образом, ( y = 1 ) или ( y = -1 ).
Теперь мы можем найти все возможные комбинации ( (x, y) ):
Эти четыре пары являются решениями данной системы уравнений.
Для решения данной системы уравнений сначала можно выразить переменную y через x из первого уравнения. Для этого можно воспользоваться формулой разности квадратов: x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 3. Таким образом, получаем систему уравнений:
1) x + y = 3 2) x - y = 3/x
Далее подставляем выражение для y из первого уравнения во второе уравнение и находим значения переменных x и y. После этого подставляем найденные значения во второе уравнение системы и проверяем, что оно выполняется.
Итак, решив систему уравнений, мы найдем значения переменных x и y, которые удовлетворяют исходным условиям.
