X^4-4x^3-19x^2+106x-120=0 решение (50 баллов)

Для решения уравнения ( x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0 ) нам нужно найти его корни. Поскольку это уравнение четвертой степени, мы можем начать с поиска рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях.

Шаг 1: Теорема о рациональных корнях

Теорема о рациональных корнях утверждает, что если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень ( \frac{p}{q} ), то ( p ) является делителем свободного члена, а ( q ) является делителем старшего коэффициента. В нашем уравнении старший коэффициент равен 1, а свободный член равен -120. Таким образом, возможные рациональные корни — это делители числа -120:

[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 60, \pm 120 ]

Шаг 2: Подбор корней

Подставим некоторые из этих значений в уравнение, чтобы найти корни.

1. ( x = 1 ): [ 1^4 - 4 \times 1^3 - 19 \times 1^2 + 106 \times 1 - 120 = 1 - 4 - 19 + 106 - 120 = -36 \quad (\neq 0) ]

2. ( x = 2 ): [ 2^4 - 4 \times 2^3 - 19 \times 2^2 + 106 \times 2 - 120 = 16 - 32 - 76 + 212 - 120 = 0 ] Значит, ( x = 2 ) — корень уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень ( x = 2 ), мы можем разделить оригинальный многочлен на ( x - 2 ) с помощью деления многочленов:

Делим ( x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 ) на ( x - 2 ).

Результат деления: [ x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = (x - 2)(x^3 - 2x^2 - 23x + 60) ]

Шаг 4: Решение кубического уравнения

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение ( x^3 - 2x^2 - 23x + 60 = 0 ). Повторим процесс поиска рациональных корней:

1. ( x = 3 ): [ 3^3 - 2 \times 3^2 - 23 \times 3 + 60 = 27 - 18 - 69 + 60 = 0 ] Значит, ( x = 3 ) — корень кубического уравнения.

Теперь делим ( x^3 - 2x^2 - 23x + 60 ) на ( x - 3 ):

Результат деления: [ x^3 - 2x^2 - 23x + 60 = (x - 3)(x^2 + x - 20) ]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение ( x^2 + x - 20 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 ]

Корни квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5 ]

Итог

Корни исходного уравнения: [ x = 2, \quad x = 3, \quad x = 4, \quad x = -5 ]

Таким образом, уравнение ( x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0 ) имеет четыре корня: ( 2, 3, 4, -5 ).

Для того чтобы решить уравнение X^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0, сначала нужно попробовать разложить его на множители. Для этого можно воспользоваться методом подбора корней.

Подставим в уравнение различные целые числа и найдем, при каком значении X уравнение равно нулю. После нескольких попыток, мы можем обнаружить, что одним из корней уравнения является X = 5.

Используя синтетическое деление или деление с остатком, мы можем разделить уравнение на (X - 5) и получить квадратное уравнение X^3 + x^2 - 24x + 24 = 0.

Затем, можно применить метод решения кубических уравнений или продолжить подбор корней, чтобы найти остальные корни уравнения. После нахождения всех корней, можно записать итоговый ответ в виде X = {корень1, корень2, корень3, корень4}.

Таким образом, решение уравнения X^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0 будет содержать четыре корня, найденных методом подбора и дальнейшего разложения на множители.