X^{4}-8x^{2}+16=0 Решите биквадратное уравнение очень прошу.

Конечно! Давайте решим биквадратное уравнение ( x^{4} - 8x^{2} + 16 = 0 ).

Биквадратное уравнение имеет вид ( ax^{4} + bx^{2} + c = 0 ). В данном случае у нас ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = 16 ).

Чтобы решить это уравнение, введем замену переменной: ( y = x^{2} ). Это преобразует наше уравнение в квадратное уравнение относительно ( y ):

[ y^{2} - 8y + 16 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом ( D ):

[ D = b^{2} - 4ac ]

Подставим наши значения ( b = -8 ), ( a = 1 ), ( c = 16 ):

[ D = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 ]

Так как дискриминант равен нулю, у квадратного уравнения есть один корень:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим наши значения:

[ y = \frac{8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 ]

Таким образом, ( y = 4 ).

Теперь вернемся к исходной переменной ( x ). Напомним, что ( y = x^{2} ), поэтому:

[ x^{2} = 4 ]

Решим это уравнение:

[ x = \pm \sqrt{4} ]

[ x = \pm 2 ]

Итак, у нас есть два решения для ( x ):

[ x = 2 ] [ x = -2 ]

Ответ: [ x = 2 ] и [ x = -2 ].

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной x^2.

Для решения биквадратного уравнения x^4 - 8x^2 + 16 = 0, сделаем замену переменной y = x^2. Тогда уравнение примет вид y^2 - 8y + 16 = 0.

Далее найдем корни этого квадратного уравнения:

D = (-8)^2 - 4116 = 64 - 64 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

y = -(-8) / (2*1) = 8 / 2 = 4

Таким образом, y = 4. Подставим обратно x^2 вместо y:

x^2 = 4

x = ±√4

x = ±2

Итак, уравнение x^4 - 8x^2 + 16 = 0 имеет два корня: x = 2 и x = -2.