Y=корень из х*(х^4+2) Найти производную

y'=(1/2)((x^4+2)^(-1/2))(4x^3+0) y'=(2x^3)/(2*(x^4+2)^(1/2)) y'=x^3/(x^4+2)^(1/2)

Для нахождения производной функции y=√(x(x^4+2)) сначала выразим данную функцию в виде y=(x(x^4+2))^0.5. Затем продифференцируем данную функцию по правилу цепочки (chain rule).

Пусть u = x*(x^4+2), тогда y = u^0.5. Производная функции y по переменной x равна:

dy/dx = (du/dx) (0.5u^(-0.5)) dy/dx = ((x^4+2) + x4x^3) (0.5(x(x^4+2))^(-0.5)) dy/dx = (x^4 + 2 + 4x^4) (0.5(x(x^4+2))^(-0.5)) dy/dx = (5x^4 + 2) (0.5(x(x^4+2))^(-0.5)) dy/dx = (5x^4 + 2) / (2√(x*(x^4+2)))

Таким образом, производная функции y=√(x(x^4+2)) равна (5x^4 + 2) / (2√(x(x^4+2))).

Для нахождения производной функции ( y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2) ), мы будем использовать правила дифференцирования: правило произведения и правило цепочки.

Рассмотрим функцию ( y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2) ).

1. Перепишем функцию в более удобной форме для дифференцирования: [ y = x^{1/2} \cdot (x^4 + 2) ]

2. Применим правило произведения для нахождения производной: [ \frac{d}{dx} [u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v' ] где ( u = x^{1/2} ) и ( v = x^4 + 2 ).

3. Найдём производные ( u' ) и ( v' ):

   ( u = x^{1/2} ) [ u' = \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} ]

   ( v = x^4 + 2 ) [ v' = \frac{d}{dx} \left( x^4 + 2 \right) = 4x^3 ]

4. Подставим найденные производные в правило произведения:

   [ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \cdot (x^4 + 2) \right) = \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot (x^4 + 2) + x^{1/2} \cdot (4x^3) ]

5. Упростим выражение:

   [ \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (x^4 + 2) = \frac{x^4 + 2}{2 \sqrt{x}} = \frac{x^4 + 2}{2 x^{1/2}} ] [ x^{1/2} \cdot (4x^3) = 4x^{1/2} \cdot x^3 = 4x^{7/2} ]

   Таким образом, производная функции ( y ) будет выглядеть следующим образом: [ y' = \frac{x^4 + 2}{2 x^{1/2}} + 4x^{7/2} ]

6. Приведём выражение к общему знаменателю для упрощения:

   Заметим, что ( 4x^{7/2} ) можно представить как ( \frac{4x^{7/2} \cdot 2x^{1/2}}{2x^{1/2}} = \frac{8x^4}{2x^{1/2}} ).

   Следовательно, [ y' = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2x^{1/2}} = \frac{9x^4 + 2}{2x^{1/2}} ]

Итак, производная функции ( y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2) ) равна: [ y' = \frac{9x^4 + 2}{2x^{1/2}} ]