Y=(x-1)^3 Построить график функций

Для того чтобы построить график функции ( Y = (x-1)^3 ), сначала разберемся с основными характеристиками этой функции.

1. Общий вид и форма графика:

   • Функция ( Y = (x-1)^3 ) представляет собой кубическую функцию. График кубической функции имеет форму "S-образной" кривой, которая проходит через точку ( (1,0) ).

2. Сдвиг графика:

   • Функция ( Y = (x-1)^3 ) является сдвигом функции ( Y = x^3 ) на одну единицу вправо. Это происходит потому, что внутри скобок аргумент ( x ) уменьшен на 1 (то есть, ( x ) заменён на ( x-1 )).

3. Основные точки:

   • Найдем несколько ключевых точек для построения графика:
     • Когда ( x = 1 ), ( Y = (1-1)^3 = 0 ). Точка (1,0).
     • Когда ( x = 0 ), ( Y = (0-1)^3 = -1 ). Точка (0,-1).
     • Когда ( x = 2 ), ( Y = (2-1)^3 = 1 ). Точка (2,1).
     • Когда ( x = -1 ), ( Y = (-1-1)^3 = -8 ). Точка (-1,-8).
     • Когда ( x = 3 ), ( Y = (3-1)^3 = 8 ). Точка (3,8).

4. Поведение функции:

   • При ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ), значение ( Y \to \infty ) или ( Y \to -\infty ) соответственно. Это значит, что график функции будет стремиться к бесконечности на обоих концах.
   • Функция является нечетной, так как ( (x-1)^3 ) сохраняет кубическую симметрию относительно точки (1,0).

5. Построение графика:

   • Начнем с осей координат.
   • Отметим найденные точки: (1,0), (0,-1), (2,1), (-1,-8), (3,8).
   • Проведем плавную кривую через эти точки, начиная с нижнего левого угла и заканчивая верхним правым углом, при этом проходя через точку (1,0) с характерной "S-образной" формой.

6. Анализ производной:

   • Найдем производную для анализа поведения функции: [ Y' = \frac{d}{dx} (x-1)^3 = 3(x-1)^2 ]
   • Производная показывает скорость изменения функции. Мы видим, что ( Y' \geq 0 ) для всех ( x ), что подтверждает, что функция постоянно возрастает.

7. Точка перегиба:

   • Найдем вторую производную для анализа точки перегиба: [ Y'' = \frac{d}{dx} 3(x-1)^2 = 6(x-1) ]
   • Вторая производная равна нулю, когда ( x = 1 ). Это точка перегиба, где график меняет свою кривизну.

Итак, у нас есть все необходимые данные для построения графика функции ( Y = (x-1)^3 ). График будет проходить через основные точки, иметь "S-образную" форму и точку перегиба в (1,0).

Для построения графика функции Y=(x-1)^3 мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого приравняем функцию к нулю: (x-1)^3 = 0. Решая это уравнение, получаем x=1. Таким образом, у функции есть одна точка пересечения с осью абсцисс (x=1).

2. Найдем точку экстремума. Для этого продифференцируем функцию по x и приравняем производную к нулю: Y' = 3(x-1)^2 = 0. Решая это уравнение, получаем x=1. Таким образом, у функции есть точка экстремума в точке (1,0).

3. Построим таблицу значений функции, выбрав несколько произвольных значений x и найдя соответствующие значения Y.

4. Нанесем точки из таблицы на координатную плоскость и проведем график функции, используя полученные точки.

5. Учитывая, что функция Y=(x-1)^3 является кубической функцией, график будет иметь форму, характерную для данного типа функций.

Таким образом, построив график функции Y=(x-1)^3, мы увидим его форму и основные характеристики, такие как точки пересечения с осями координат, точку экстремума и общий характер изменения функции в зависимости от значения аргумента.