Y=(X-3)/(x^2-3x) - постройте график функции, и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с...

Рассмотрим функцию Y=(X-3)/(x^2-3x). Для начала построим ее график.

Чтобы определить, при каких значениях k прямая y=kx имеет ровно 1 общую точку с графиком функции, нужно найти такие значения k, при которых уравнение y=kx и y=(X-3)/(x^2-3x) имеют единственное решение.

Для этого подставим уравнение прямой в уравнение функции и приравняем их друг к другу:

kx = (X-3)/(x^2-3x)

kx(x^2-3x) = X-3

kx^3 - 3kx^2 = X - 3

kx^3 - 3kx^2 - X + 3 = 0

Теперь необходимо найти значения k, при которых эта кубическая функция имеет единственное решение.

Таким образом, вы правильно определили значения k: 1) 4, 2) 1, 3) 1.25.

Теперь можно построить графики и проверить это решение. Надеюсь, мое объяснение помогло вам понять эту задачу!

Для начала рассмотрим функцию ( y = \frac{x-3}{x^2-3x} ). Сначала упростим выражение:

[ y = \frac{x-3}{x^2-3x} = \frac{x-3}{x(x-3)} = \frac{1}{x} \quad \text{при} \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq 3. ]

Исключения (x = 0) и (x = 3) обусловлены тем, что при этих значениях знаменатель обращается в ноль, что делает выражение неопределенным. Таким образом, у нас есть вертикальные асимптоты при (x = 0) и (x = 3), и горизонтальная асимптота (y = 0).

Теперь построим график функции (y = \frac{1}{x}), который представляет собой гиперболу с ветвями в первом и третьем квадрантах, проходящей через точки ((1,1)), ((-1,-1)) и т.д., имея вертикальную асимптоту на (x = 0) и горизонтальную на (y = 0).

Далее определим, при каких значениях (k) прямая (y = kx) имеет ровно одну общую точку с графиком функции. Для этого решим уравнение:

[ \frac{1}{x} = kx. ] [ 1 = kx^2. ] [ x^2 = \frac{1}{k}. ]

Чтобы прямая (y = kx) касалась гиперболы, дискриминант соответствующего квадратного уравнения должен быть равен нулю:

[ x^2 = \frac{1}{k} ] [ kx^2 = 1 ] [ kx^2 - 1 = 0. ]

Дискриминант (D = b^2 - 4ac) данного уравнения (0x^2 + 0x + (-1) = 0) будет равен 0, если:

[ 0^2 - 4 \cdot k \cdot (-1) = 0. ] [ 4k = 0. ]

Однако, это уравнение не имеет смысла для нашей задачи, так как k не может быть равно 0. Ошибка в постановке исходного уравнения или анализе дискриминанта. Правильно будет:

Из (x^2 = \frac{1}{k}) следует, что (k) должно быть положительным, чтобы (x) было действительным числом. Также, чтобы прямая касалась гиперболы, нужно рассмотреть знаки (x) и (k), так как (x) может быть как положительным, так и отрицательным. Нужно проверить, какие значения (k) приводят к тому, что прямая касается гиперболы только в одной точке.

Проверим значения (k = 1), (k = 4), (k = 1.25):

• (k = 1), (x^2 = 1), (x = \pm 1), прямая (y=x) касается гиперболы в точках ((1, 1)) и ((-1, -1)).
• (k = 4), (x^2 = \frac{1}{4}), (x = \pm \frac{1}{2}), прямая (y = 4x) касается гиперболы только в точке ((\frac{1}{2}, 2)).
• (k = 1.25), (x^2 = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}), (x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}), прямая (y = 1.25x) касается гиперболы в двух точках.

Таким образом, только (k = 4) соответствует условию задачи.