Y=x^2-4, y=0 Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией ( y = x^2 - 4 ) и осью абсцисс (линией ( y = 0 )), необходимо рассмотреть область, где функция ( y = x^2 - 4 ) находится выше оси ( y = 0 ) (то есть, где ( x^2 - 4 \geq 0 )).

1. Найдем точки пересечения параболы ( y = x^2 - 4 ) с осью абсцисс. Решим уравнение: [ x^2 - 4 = 0 ] [ x^2 = 4 ] [ x = \pm 2 ] Значит, парабола пересекает ось абсцисс в точках ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Теперь, чтобы найти площадь фигуры между параболой и осью абсцисс на интервале от ( x = -2 ) до ( x = 2 ), используем определенный интеграл. Площадь ( S ) вычисляется по формуле: [ S = \int{-2}^{2} (x^2 - 4) \, dx ] Так как функция ( x^2 - 4 ) симметрична относительно оси ординат, можно упростить вычисление, взяв удвоенный интеграл от 0 до 2: [ S = 2 \int{0}^{2} (x^2 - 4) \, dx ] Вычисляем интеграл: [ \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x ] Подставляем пределы интегрирования: [ \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 = \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0\right) ] [ = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - (0) ] [ = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8 - 24}{3} = -\frac{16}{3} ] Так как площадь не может быть отрицательной, берем абсолютное значение: [ S = 2 \cdot \left| -\frac{16}{3} \right| = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \text{ кв. ед.} ] Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = x^2 - 4 ) и осью ( y = 0 ), равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией y=x^2-4 и y=0, необходимо найти точки их пересечения.

Для этого приравняем уравнения: x^2-4=0 x^2=4 x=2, x=-2

Таким образом, точки пересечения линий будут (2,0) и (-2,0).

Затем найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого необходимо найти интеграл от y=x^2-4 до y=0 по оси x.

S = ∫[a,b] (y) dx S = ∫[-2,2] (x^2-4) dx S = [1/3*x^3-4x] [-2,2] S = (1/32^3-42) - (1/3(-2)^3-4(-2)) S = (8/3-8) - (-8/3+8) S = 8/3-8 + 8/3-8 S = 16/3 - 16 S = -16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4 и y=0, равна -16/3 (единицы площади). Обратите внимание, что значение отрицательное, что может указывать на ошибку в рассмотренной области.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией y=x^2-4 и осью x, необходимо найти точки пересечения данной линии с осью x, затем найти площадь под кривой между этими точками.