Y=x^2-x-6 Построить график функции. Мне нужно полное решения.

Для построения графика функции Y=x^2-x-6 необходимо следовать нескольким шагам:

1. Найдем вершину параболы, которая представляет собой график данной функции. Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае a=1, b=-1, поэтому x = -(-1)/(2*1) = 1/2. Подставляем x=1/2 в уравнение функции: Y = (1/2)^2 - 1/2 - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = -6.25. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1/2, -6.25).

2. Найдем корни уравнения Y=0, чтобы определить точки пересечения графика с осью X. Для этого решаем уравнение x^2-x-6=0. Дискриминант D = (-1)^2 - 41(-6) = 1 + 24 = 25. Корни уравнения находим по формуле x = (-b +- sqrt(D))/(2a), т.е. x = (1 +- 5)/2 = {3, -2}. Следовательно, график функции пересекает ось X в точках (-2, 0) и (3, 0).

3. Наносим найденные точки (вершина параболы и точки пересечения с осью X) на координатную плоскость и проводим параболу через них. Учитывая, что коэффициент при x^2 равен 1, парабола будет направлена вверх.

Таким образом, график функции Y=x^2-x-6 представляет собой параболу, вершина которой находится в точке (1/2, -6.25), и которая пересекает ось X в точках (-2, 0) и (3, 0).

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - x - 6 ), следуем следующим шагам:

1. Определение типа функции

Функция ( y = x^2 - x - 6 ) является квадратичной функцией, так как содержит член с ( x^2 ). Графиком квадратичной функции является парабола.

2. Определение направления ветвей параболы

Коэффициент при ( x^2 ) равен 1, что больше нуля. Это значит, что ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем вершину параболы

Вершина параболы для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) находится по формуле: [ x_v = -\frac{b}{2a} ]

Подставим значения ( a = 1 ), ( b = -1 ): [ x_v = -\frac{-1}{2 \times 1} = \frac{1}{2} ]

Теперь найдем ( y )-координату вершины, подставив ( x_v = \frac{1}{2} ) в уравнение функции: [ y_v = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} ]

Вершина параболы: ( \left(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right) ).

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ( y ): Для этого подставим ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 0 - 6 = -6 ] Точка пересечения: ( (0, -6) ).

Пересечение с осью ( x ): Для этого решим уравнение ( x^2 - x - 6 = 0 ) методом разложения на множители: [ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 ]

Решения: [ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ] [ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 ]

Точки пересечения: ( (3, 0) ) и ( (-2, 0) ).

5. Построение графика

1. Наносим вершину параболы ( \left(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right) ).
2. Наносим точки пересечения: ( (0, -6) ), ( (3, 0) ), ( (-2, 0) ).
3. Соединяем точки плавной кривой, учитывая, что ветви параболы направлены вверх.

График должен быть симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы ( x = \frac{1}{2} ).

6. Дополнительные точки

Для более точного построения можно рассчитать дополнительные точки, например:

• Подставим ( x = 1 ): [ y = 1^2 - 1 - 6 = -6 ] Точка ( (1, -6) ).

Теперь у вас есть все данные для построения графика функции ( y = x^2 - x - 6 ).