Y=x^4-2x^2+1 найти экстремум функции

Для нахождения экстремумов функции y=x^4-2x^2+1 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Производная данной функции будет равна y'=4x^3-4x. Затем решаем уравнение 4x^3-4x=0. Факторизуем его и находим корни: x=0, x=1, x=-1.

Далее для определения типа экстремума подставляем найденные значения x обратно в исходное уравнение y=x^4-2x^2+1 и находим соответствующие значения y. Путем анализа данных точек можно определить, что при x=0 функция имеет минимум, а при x=1 и x=-1 функция имеет максимумы.

Таким образом, экстремумы функции y=x^4-2x^2+1: минимум при x=0 и максимумы при x=1 и x=-1.

Для нахождения экстремума функции y=x^4-2x^2+1 нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и найти значения x, соответствующие экстремумам.

Чтобы найти экстремумы функции ( y = x^4 - 2x^2 + 1 ), необходимо следовать стандартному процессу нахождения критических точек и использования второй производной для определения характера этих точек.

1. Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x. ]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю: [ 4x^3 - 4x = 0. ] Разделим обе стороны на 4: [ x^3 - x = 0. ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(x^2 - 1) = 0. ] Решим уравнение: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = 0. ] [ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1. ]

3. Найдем вторую производную функции: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 2x^2 + 1) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4. ]

4. Определим характер критических точек с помощью второй производной:

   • Для ( x = 0 ): [ y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4. ] Поскольку ( y''(0) < 0 ), в точке ( x = 0 ) функция имеет локальный максимум.

   • Для ( x = 1 ): [ y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8. ] Поскольку ( y''(1) > 0 ), в точке ( x = 1 ) функция имеет локальный минимум.

   • Для ( x = -1 ): [ y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8. ] Поскольку ( y''(-1) > 0 ), в точке ( x = -1 ) функция также имеет локальный минимум.

5. Выводы:

   • Локальный максимум функции находится в точке ( x = 0 ), а значение функции в этой точке: [ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 1 = 1. ]
   • Локальные минимумы функции находятся в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ), а значения функции в этих точках: [ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 0, ] [ y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 1 = 0. ]

Таким образом, функция ( y = x^4 - 2x^2 + 1 ) имеет локальный максимум в точке ( x = 0 ) с ( y = 1 ) и локальные минимумы в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ) с ( y = 0 ).