Y=(x+5) в квадрате (х+6)-8 найти наименьшее значение функции на отрезке [-5,5;1]

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x+5)^2*(x+6)-8 на отрезке [-5;1], необходимо найти критические точки функции в данном интервале. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 2(x+5)(x+6) + (x+5)^2 = 0

Раскроем скобки и соберем все члены:

2(x^2 + 11x + 30) + (x^2 + 10x + 25) = 0 2x^2 + 22x + 60 + x^2 + 10x + 25 = 0 3x^2 + 32x + 85 = 0

Далее найдем корни этого квадратного уравнения:

x = (-32 ± √(32^2 - 4385)) / 6 x = (-32 ± √(1024 - 1020)) / 6 x = (-32 ± √4) / 6 x = (-32 ± 2) / 6

Итак, получаем два корня: x = -6 и x = -8/3. На отрезке [-5;1] наименьшее значение функции будет в точке x = -6, так как x = -8/3 не принадлежит данному отрезку.

Подставим x = -6 в исходное уравнение:

y = (-6 + 5)^2 (-6 + 6) - 8 y = (-1)^2 0 - 8 y = 0 - 8 y = -8

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-5;1] равно -8.

Давайте найдем наименьшее значение функции ( y = (x+5)^2(x+6) - 8 ) на отрезке ([-5.5, 1]).

1. Функция и отрезок: Дана функция ( y = (x+5)^2(x+6) - 8 ). Мы ищем её наименьшее значение на отрезке ([-5.5, 1]).

2. Критические точки: Для поиска критических точек функции необходимо найти её производную и решить уравнение, приравнивая производную к нулю.

   [ y = (x+5)^2(x+6) - 8 ]

   Прежде чем дифференцировать, раскрываем скобки:

   [ y = (x+5)^2(x+6) - 8 = (x^2 + 10x + 25)(x+6) - 8 ]

   [ y = x^3 + 6x^2 + 10x^2 + 60x + 25x + 150 - 8 ]

   [ y = x^3 + 16x^2 + 85x + 142 ]

   Теперь найдем производную:

   [ y' = 3x^2 + 32x + 85 ]

   Решим уравнение ( y' = 0 ):

   [ 3x^2 + 32x + 85 = 0 ]

   Найдем дискриминант:

   [ D = 32^2 - 4 \times 3 \times 85 = 1024 - 1020 = 4 ]

   Корни квадратного уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-32 \pm \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{-32 \pm 2}{6} ]

   [ x_1 = \frac{-30}{6} = -5, \quad x_2 = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3} \approx -5.67 ]

3. Точки на отрезке: Из критических точек (-5) и (-5.67) только (-5) попадает в наш отрезок ([-5.5, 1]). Также проверим значение функции на концах отрезка: в точках (-5.5) и (1).

4. Значения функции:

   • ( y(-5.5) )
   • ( y(-5) )
   • ( y(1) )

   Подставим в исходную функцию:

   [ y(-5.5) = ((-5.5) + 5)^2((-5.5) + 6) - 8 = (0.25)(0.5) - 8 = 0.125 - 8 = -7.875 ]

   [ y(-5) = ((-5) + 5)^2((-5) + 6) - 8 = (0)(1) - 8 = -8 ]

   [ y(1) = (1 + 5)^2(1 + 6) - 8 = 36 \times 7 - 8 = 252 - 8 = 244 ]

5. Наименьшее значение: Сравнивая значения функции в критических точках и на концах отрезка, видим, что наименьшее значение ( y = -8 ) достигается в точке ( x = -5 ).

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([-5.5, 1]) равно (-8).