Записать уравнение касательной к функции F(x)=4x-sin x +1 в точке x0=0

Для того чтобы записать уравнение касательной к функции ( F(x) = 4x - \sin x + 1 ) в точке ( x_0 = 0 ), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в точке ( x_0 = 0 ): ( F(0) = 4 \cdot 0 - \sin(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 ).

2. Найти производную функции ( F(x) ): Производная функции ( F(x) ) обозначается как ( F'(x) ). Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования: [ F'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \sin x + 1). ] Применяем правило дифференцирования для каждого слагаемого: [ F'(x) = \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(1). ] Производная от ( 4x ) равна 4, производная от ( \sin x ) равна ( \cos x ), а производная от константы 1 равна 0: [ F'(x) = 4 - \cos x. ]

3. Найти значение производной в точке ( x_0 = 0 ): [ F'(0) = 4 - \cos(0). ] Поскольку ( \cos(0) = 1 ): [ F'(0) = 4 - 1 = 3. ]

4. Записать уравнение касательной в точке ( x_0 = 0 ): Уравнение касательной к функции ( F(x) ) в точке ( x = x_0 ) имеет вид: [ y = F(x_0) + F'(x_0)(x - x_0). ] Подставляем найденные значения ( F(0) = 1 ) и ( F'(0) = 3 ): [ y = 1 + 3(x - 0). ] Упрощаем уравнение: [ y = 1 + 3x. ]

Таким образом, уравнение касательной к функции ( F(x) = 4x - \sin x + 1 ) в точке ( x_0 = 0 ) имеет вид: [ y = 1 + 3x. ]

Для того чтобы записать уравнение касательной к функции F(x) = 4x - sin(x) + 1 в точке x₀ = 0, необходимо найти производную данной функции и подставить значение x₀ в найденное выражение.

F'(x) = 4 - cos(x)

Теперь вычислим значение производной в точке x₀ = 0:

F'(0) = 4 - cos(0) = 4 - 1 = 3

Таким образом, угловой коэффициент касательной к функции F(x) в точке x₀ = 0 равен 3.

Далее, найдем значение функции в точке x₀ = 0:

F(0) = 4*0 - sin(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

Теперь можем записать уравнение касательной в виде y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - точка пересечения с осью ординат:

y = 3x + 1

Итак, уравнение касательной к функции F(x) = 4x - sin(x) + 1 в точке x₀ = 0 имеет вид y = 3x + 1.