Запишите в виде произведения: а)sin70-sin50 б)sin70+cos50

а) sin70 - sin50 = 2sin$10$cos$60$ = 2sin$10$ * $1/2$ = sin$10$ б) sin70 + cos50 = sin$60+10$ + cos$50$ = sin60cos10 + cos60sin10 + cos50 = $1/2$cos10 + $sqrt(3$/2)sin10 + cos50

а) sin70 - sin50 = 2cos60sin10 б) sin70 + cos50 = cos20sin70 + cos50*sin70

Для решения этих задач мы будем использовать тригонометрические тождества.

а) $\sin {70}^{\circ }-\sin {50}^{\circ }$

Для разности синусов есть следующее тождество:

$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

Подставим $A={70}^{\circ }$ и $B={50}^{\circ }$:

$\sin {70}^{\circ }-\sin {50}^{\circ }=2\cos \left(\frac{{70}^{\circ }+{50}^{\circ }}{2}\right)\sin \left(\frac{{70}^{\circ }-{50}^{\circ }}{2}\right)$

$=2\cos ({60}^{\circ })\sin ({10}^{\circ })$

Зная, что $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$, получаем:

$=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin ({10}^{\circ })=\sin ({10}^{\circ })$

б) $\sin {70}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }$

Заметим, что $\cos {50}^{\circ }=\sin ({90}^{\circ }-{50}^{\circ }$ = \sin 40^\circ ). Поэтому:

$\sin {70}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }=\sin {70}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }$

Для суммы синусов используем следующее тождество:

$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$

Подставим $A={70}^{\circ }$ и $B={40}^{\circ }$:

$\sin {70}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }=2\sin \left(\frac{{70}^{\circ }+{40}^{\circ }}{2}\right)\cos \left(\frac{{70}^{\circ }-{40}^{\circ }}{2}\right)$

$=2\sin ({55}^{\circ })\cos ({15}^{\circ })$

Таким образом, мы выразили оба выражения в виде произведений, используя тригонометрические тождества.